日历

2025 - 6
日 一 二 三 四 五 六
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
2930     
«月» 2025 - 6 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 pb_P~?  
epaJ4?  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. J}kf9i{  
-A_,+P}ARZ  
　　1、三角函数本质： <45RYw  
a_Ykap$  
　　三角函数的本质来源于定义 !'KdA($  
*Vt]KL2  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Z~Vec7*A  
$OAw"ufs  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 57<f4+ f!  
BQ(A~Ts2  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： EAfbY{  
VMt HS|y  
　　推导： LdR>zB"  
*ad~2m;`_  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 &zy"sZK$K  
.G` Otz  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) KHMu o.  
LRW6\^s  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) / (H71b  
8vW!uDN  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 J)UH^z  
?D 4&0Di  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 3Jn;7Rt  
t7a6F5TVx  
　　[1] 1M6 Jr  
@DwC)  
　　两角和公式 'Q(>p)  
o-{y<X  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 6d:\A  
QPmA8G`T  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  S5!-+hP  
wS9{m9OFQ  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB (v^UBFE5C  
NBc`JJ^C  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Gxjt$_HKQ  
D|!6>\cl7  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) *OH-Z{V5'  
;lk[k =o  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) wha%I F  
^'taWt$m  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  6MBi ~o  
p *u[r7  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)  MTHb  
+G3sKfPV  
倍角公式 #L`h*Lx\1  
ATudx~  
　　Sin2A=2SinA•CosA 9fVO <k  
))>4o*ZO9a  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ^._&~f21  
|-52};  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） tsd:1|z"  
R3ho[uQkp  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） <;uQxB   
:z|A<e  
三倍角公式 ;=j$3u  
Rjt+ 1KOi  
　　 \9}fY2(e  
]IS[J&E  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) g ~ &llI  
5OWk?LF$G  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) S8^1EsiB5e  
O1v=p{;Zd  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) m"#KO9  
B@%]B@  
三倍角公式推导 &+0[g9o  
]+@ylsPIo  
　　sin3a R'DM&8G  
qP]NVO#0  
　　=sin(2a+a) Q3nOL.$  
j&tu%W{w  
　　=sin2acosa+cos2asina VX46qSK  
qUPZdK<f  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina "-W)p3qv4  
hKdC\d8  
　　=3sina-4sin³a }((y.`G s  
~CbjQ-%a  
　　cos3a '/K$TWR+  
HYmQJY  
　　=cos(2a+a) <?-!q4T5d  
95 jasa  
　　=cos2acosa-sin2asina z*-3 Z r  
 YiPA{#  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa NZowGR0  
vxeF Th)  
　　=4cos³a-3cosa 05G@\  
o&R7]@i>s  
　　sin3a=3sina-4sin³a v*-z'/<(X  
?Ei.}4,L  
　　=4sina(3/4-sin²a) MN(7A V1:  
k!Aw]#54%)  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Iq!> K:  
PoU<J^C  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) lbihF;  
GxL1Tp3n  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) wLB>  
yo6E>hOH  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] l[ nf  
:-b)J?|/Y  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 2OX1H@?q  
>SKx 5d  
　　cos3a=4cos³a-3cosa zCiDKa  
g_6hOv1  
　　=4cosa(cos²a-3/4) lQ)0^Ird  
oBx&5 dUW  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] m*]oI2  
jcu'|C  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Vz-~L8J@9  
Yegx  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) {P^zzR8  
$wjUXn3  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} oa v>-<,  
d&0@6Fdz  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) "0*xT{zr  
Fix ' ui  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] [O=_bi  
&/6:$=$  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] gA]3:8-1j  
{{Hb  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) %lHv'v{h@  
qo7RyNr2  
　　上述两式相比可得 ]#@k"{~Hl  
mDviA  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ue; HrS  
n OXzw^k  
半角公式 ku0LogGO  
tgE|wCy  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); x@F\B W<Y  
b3 >J u@~  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. bY4$c7K  
gu2H]km  
和差化积 kS #a*y  
J a}!k&r  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] xOD6FYAo3  
?i>gO*0Dv9  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] %rj\$_  
^C/sH-*L~  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] yYpd Kx  
SZLE wCk/  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] t Q#PF*  
"k^3-$}b\H  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 7zz1Tv  
9Uso s62wz  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 7wF/7zi  
^mZNM5@ I  
积化和差 \Ar9A&_Y94  
zj[\au>  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] V u(WM!$F  
KiW^8Nbj%w  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] \>tYqgj#  
# zA?@I,|  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] PxC9^&  
f3mGO'H_  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] VhVNh4 n)[  
*6 Y' L  
诱导公式 9')t f  
L[G 7l97/  
　　sin(-α) = -sinα 04uKyJ[p  
Cv;R<)b  
　　cos(-α) = cosα ~zi1iiO)\  
WLgg*zv.r  
　　sin(π/2-α) = cosα t(ft ]j6\  
a.9f R)2  
　　cos(π/2-α) = sinα .)qe7=}  
E_J@(wl  
　　sin(π/2+α) = cosα F9B:SzQ%  
gc#p#iZ5w  
　　cos(π/2+α) = -sinα k@q f|n,  
"lGi 8@  
　　sin(π-α) = sinα 2'0X;&ByZ  
At_=I.f+_{  
　　cos(π-α) = -cosα LeXUy*)m  
 CBjyqg/-  
　　sin(π+α) = -sinα H>v.S6  
@d2R]  
　　cos(π+α) = -cosα V$hEeWs?  
m7+%yfV 2  
　　tanA= sinA/cosA zt I]W'  
u1v% D  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα #(RR-VC+  
>G_ly}upn  
　　tan（π/2－α）＝cotα lV #QF  
*-a {"=  
　　tan（π－α）＝－tanα P@&A YG  
7C7}Lm.`/  
　　tan（π＋α）＝tanα Ne~+Q":]  
[~Q7>C)-"  
万能公式 riJ5xh&R  
?OT7J+%  
　　 O We "|/  
!cRbc${L  
其它公式 uV{cfoq/  
{htj2His  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 v{&,a'{x5  
t@(k1Z2AWF  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 \nf_q=(Gt  
P2jk6NEi  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 (4^:> <}Z  
2 >> n  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 {dh#Pg2"1&  
wv^%F8O&w  
　　对于任意非直角三角形,总有 ob.<.56  
s-o?GA,  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC @Au%7*xG  
dT-ADM)  
　　证: ~T:rOjxn,  
h04sO651u  
　　A+B=π-C e}0*C]*`!  
@X_dzII?  
　　tan(A+B)=tan(π-C) LuyB/XY1|  
F/">epd(]  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) BX/3&/q!  
AcO/6KO  
　　整理可得 R . *uTK  
rm4U4  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC L"fa`}3  
AxKGt0u  
　　得证 B$a-O"v  
_qDs2U  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 b5~xp9f5~  
#T*zq  
其他非重点三角函数 +S.hqDB  
sIVOqH-?  
　　csc(a) = 1/sin(a) ZnE@2\t S`  
\ UNUv_y  
　　sec(a) = 1/cos(a) y&MxeJG,  
c(A\H2Zu  
　　 vfSw<?M*kf  
(r%vVw" \  
双曲函数 = X#yO*t  
MTt4855  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 as/Y=7i%w  
( :/9<=t  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 (fWK PU^H  
X:=&*EWO  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) gG XX-T^g  
6Nnux6/}=  
　　公式一： )r:xfYD4  
. 2&D`[  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Iu{KX&O^  
>p_BHkn<z  
　　sin（2kπ＋α）= sinα B`1^|_ a  
< <OIRt&q  
　　cos（2kπ＋α）= cosα zLE~sfTH  
.J]>N6l  
　　tan（kπ＋α）= tanα Z'NF5s#f  
{]@cW}%  
　　cot（kπ＋α）= cotα H.g7p?e  
]-`lB_{3r  
　　公式二： QL%j|qd z5  
w (37  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： K*;S wd`aZ  
PmirHGox{R  
　　sin（π＋α）= -sinα v[Lo;+yU  
{ t& zH c  
　　cos（π＋α）= -cosα lkUhun  
/GfX_@  
　　tan（π＋α）= tanα 7wDP)j  
vpfNmzSB  
　　cot（π＋α）= cotα ~SF@PY ^  
/Ba84Y  
　　公式三： aSB84MN7"  
7:"OfR {  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： `I*BmLK  
&M9Ymt  
　　sin（-α）= -sinα W)A@5:=Af3  
MQq_{O9])  
　　cos（-α）= cosα 8by4Gbj  
<~}u$/8q  
　　tan（-α）= -tanα rU~='  
7-\755L2  
　　cot（-α）= -cotα P4DU~Qt  
OKnD%zxT  
　　公式四： chK IcBD[  
+lziA -|  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ~R@v@7z}}  
:~!=!O  
　　sin（π-α）= sinα As[ ETB  
s]P(k+x1  
　　cos（π-α）= -cosα IB$wVT.2aq  
"C3R1(IZ  
　　tan（π-α）= -tanα vY{1FtbH  
hV@B^^%T  
　　cot（π-α）= -cotα wH/B2O&*  
!O[rd^q!va  
　　公式五： ,h]$Veo{KM  
r[1Nh;v}v  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： lp}(W_ K  
s p-O,m[  
　　sin（2π-α）= -sinα D7m ?>7  
4H7\!$_-  
　　cos（2π-α）= cosα Uye8U@Lv}  
Sz ~}B\Fw  
　　tan（2π-α）= -tanα -*Oc`G.  
!mZ}|P6i{  
　　cot（2π-α）= -cotα :iO12xI<aY  
sBlCZ@  
　　公式六： qOv[z2fc  
"OnF,J>Au  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： Ol4Z`= q:  
f oO$Bg  
　　sin（π/2+α）= cosα '4[1 3  
;5v97qcP  
　　cos（π/2+α）= -sinα c-mPc  
}gai;p;f  
　　tan（π/2+α）= -cotα k c:L{b/  
:nOA%'A]  
　　cot（π/2+α）= -tanα BnCKuoO  
O:y8ru -s,  
　　sin（π/2-α）= cosα HKk .T!V  
Xb't+:mY  
　　cos（π/2-α）= sinα b]=#~ /  
r(?@lr/{  
　　tan（π/2-α）= cotα Y. 5i4}  
[A7Dp_`  
　　cot（π/2-α）= tanα y3i\#k*  
l%6mG|'ym  
　　sin（3π/2+α）= -cosα jJFH9  
IKh'U[r  
　　cos（3π/2+α）= sinα =j{->F>SM  
3aIUC|r  
　　tan（3π/2+α）= -cotα n]gx8  
E2M_AO+#[)  
　　cot（3π/2+α）= -tanα [(a t<(  
T:i/+  
　　sin（3π/2-α）= -cosα Ahx<j@3Y  
V4(] Mq  
　　cos（3π/2-α）= -sinα D|\w@=&V  
Uz=@fLtg  
　　tan（3π/2-α）= cotα %hb8pcd  
' Bv`l0A  
　　cot（3π/2-α）= tanα *%'{=|g  
V{TJQT{^  
　　(以上k∈Z) n!$TnbsLV  
F$KB6-  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 y. 9wDQ  
9(6KS; <  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = v>', Yab  
%#dzO:  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 9N\0-Hb  
$cDhMiB[  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(16599) |  收藏