日历

2025 - 6
日 一 二 三 四 五 六
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
2930     
«月» 2025 - 6 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 y[dV>} v  
hKzqLtc$K$  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ;c_U]$|pp  
xwX YDG$  
　　1、三角函数本质： E*#%8G]O<  
mp\d4IBu  
　　三角函数的本质来源于定义 U)=/~^N;z  
pV<L#}V  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 c`q"d8z^  
YZP{<@(?  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 KBE Hzh H  
wQu>tAV  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： s,J?vjwg  
Y6&i -!N-^  
　　推导： uFh0:K  
`w ^o[SVqM  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 *2zZLXL7%  
1yH %82j9  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) {MRr76BJ  
U\>4X@   
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)  t#/DW4  
g57  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 W!7!6  
!1^,H4/  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ,^ %'s$  
!a5uS4lP  
　　[1] "kJc97z4  
=_)(bm}  
　　两角和公式 NUiaK!2  
6uS>oM  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Qq8Q`L9W  
,8~vZZGY>  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  {.N5;yFX/  
s]g{hwTs  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB c~hd-5  
8pVzz g@  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ?`O9caz  
Z q)> 5v  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) I0f6o*?{[\  
9d!w"C A  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ?'5% n  
4A|4x  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  /]|?(La  
-l) 4^h!+}  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) .33O35=M  
lOn7a'?  
倍角公式 8Kpl.l  
O ^ZJ#wF_  
　　Sin2A=2SinA•CosA (/Vy]aFJk  
,ZLV>{29  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tY*!:1h  
&x-PRe{}lc  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） M9TsdKPwRu  
qE7{"go)  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） B_*xIjtw  
-zwN!{['3D  
三倍角公式 *^%$;Dax  
EK]#$#yF%  
　　 D lEYSXhC  
CX+GrUA  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) >*n'Ak  
}o:M;5$-F  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) vJ)cmJ  
  \c*   
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) /$="N 3W  
df)~(8m;R  
三倍角公式推导 j XWw}  
L"&>77kxD  
　　sin3a 4JN7?Y,  
dq@. n'A1  
　　=sin(2a+a) gQW^:0O  
\jyQ:g:/{u  
　　=sin2acosa+cos2asina &x@$3 l8  
z#6zqL?)  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Y<oL/0}|.r  
ge$7%+.%  
　　=3sina-4sin³a HDMAy%m  
oFZO%"Ae:,  
　　cos3a AuEyj[1OZ  
>b}3GPH  
　　=cos(2a+a) -h_2df  
L*#_""R.r  
　　=cos2acosa-sin2asina "5}.Ndx53  
}D/k1 SJ  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa w/ Jas#  
bJEm&(+  
　　=4cos³a-3cosa w^IyfU`  
^-K5js  
　　sin3a=3sina-4sin³a } ;eG>xz  
'vy{"mp"'  
　　=4sina(3/4-sin²a) O\c.H,zt  
<fRM_bHaQ  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ohGnu1q  
bk/gHh%6>n  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) \DJye  
bR`'^s[2  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) m??#NZ\#r  
wHNI?j%  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] :#d]=n\zj  
!)lJZ   
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) \Q/b;dY'.  
S U lpaZ|3  
　　cos3a=4cos³a-3cosa <`O/l;  
b aXg[gG  
　　=4cosa(cos²a-3/4) }O )lwov  
|~# ^Y&  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] X/y'W$hCG  
-p4ZW Iz  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) \2%Wy;  
l[8kQ^1  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) [2Cx 3#S  
hd -0V 3<  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} WhH``?B<9  
NA}@kq$o  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) P<SeCF"T  
XULE6=Nq  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] GEIf3&cb2  
q g,^e{S  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] % U 6K`#Z1  
}tWhK5bts]  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) PZ/D*igZx  
<L<MC 8$$  
　　上述两式相比可得 ``<5p@SW  
OvV5G/=  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Zod*4b'U  
Gu9oKHU  
半角公式 vV.):eI>  
<{dm#  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);  26?,A!YI  
a`B8a9  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. >qDo"$y  
"yVdg2r  
和差化积 NB .F{G  
wV^l_vYED  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 3rbe>rPg  
LC-J,wHbj  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] fD1qCK9R  
u5:IY^u<2  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] &Wr-gSN  
YyiLyooqL  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 6]\Of;J  
qvb-Y  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) C lCK8';;e  
na.')Xq(  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) w;!v0Q"a  
CLfHF-B3  
积化和差 *zi o$H;  
5,m~wr'  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] N:tI?v6u)  
T5NME (  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 4X8qZ 'CI  
}$v YiW  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] dYj?}ZT"  
>lmtr\  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] EWmf8QvQY  
B06.txO  
诱导公式 0E>#.pFn  
{q KcQvl  
　　sin(-α) = -sinα Mt4e"G  
"J>Y"#oK/  
　　cos(-α) = cosα "m"U]n^'*  
sVr`v]ne  
　　sin(π/2-α) = cosα WJ8WQ0|  
P\ '*{Oc  
　　cos(π/2-α) = sinα H$)`.Xq  
Q%'cK`oKoO  
　　sin(π/2+α) = cosα H^ +1i(iC  
J $zE[p  
　　cos(π/2+α) = -sinα & C5R<sxr0  
 t`of.  
　　sin(π-α) = sinα gQ?535i  
#QjrH~d  
　　cos(π-α) = -cosα c5 W'4`:  
 z2*pU7  
　　sin(π+α) = -sinα 5'3:4!  
\E~.GkKwO  
　　cos(π+α) = -cosα M 2|@_WD  
}_9'X3  
　　tanA= sinA/cosA @- LB  
8^ F7:fA  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα " @YT}u"B  
GE-`DV#}'\  
　　tan（π/2－α）＝cotα  SR  
+NHWj*x5  
　　tan（π－α）＝－tanα c*xY\kmEY  
qq520$J!|  
　　tan（π＋α）＝tanα Yy=~^dd^Ja  
&q-BH @Ik  
万能公式 +Y_^/.  
F3nK..b39  
　　 )k^,C.46?  
07ER<N  
其它公式 .U{Yb*/  
Kp]0  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 .O2"L  
bis{I"K0  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 [kL,aa|EQ  
vf#mAJ=~  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2  LWd]{+  
7aL>w  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Dr27 H7_  
RQ*&:zxK  
　　对于任意非直角三角形,总有 q g`4'V7  
"U, d{t  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC O*i?,*|m  
p"dUs>x  
　　证: u.+@,`8  
"wjXuiT  
　　A+B=π-C \.<C {[X  
mHv;gHq_  
　　tan(A+B)=tan(π-C) XnIT a9XHd  
^WC#wtKGc  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) uq=<Bif)  
lAK)<  
　　整理可得 9EOVJ{~0Y_  
Gsl.V6  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC *~IUo^%  
XCe,[R5  
　　得证 y94lji  
)Pt!`1X{#  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 0x7#KA@  
D|P1ZKg  
其他非重点三角函数 pgB+:#   
rt^NbQ[21  
　　csc(a) = 1/sin(a) -v9rJp:Z}  
FSXdaLGA4  
　　sec(a) = 1/cos(a) &+1'7R^W  
;u.TNo\  
　　 ^^zb ]:ok  
&48|}@n6  
双曲函数 'c}[<zwG  
BA4=x1b  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 7cW/~Z  
40sFtPK  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Z_xv6]p*  
-FairrwF&  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) iv~OUKN  
]dM<}!n  
　　公式一： G&|5 SC]  
w&XXfTM|  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： I}dV#G*{  
X-rhRYm  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ^cE Di7`6  
KG% c49#  
　　cos（2kπ＋α）= cosα \V>n4q  
@oW wx`  
　　tan（kπ＋α）= tanα _:OH+,X  
2 cls?}L  
　　cot（kπ＋α）= cotα ]\(m$tbw  
zG3u$,  
　　公式二： =r1a1_z|  
dspcQY h=  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： (J:tGF   
BhcL>Dz^C  
　　sin（π＋α）= -sinα OK mrS..<  
U+*@ vgg  
　　cos（π＋α）= -cosα kH>H2G\@  
`FK! K8  
　　tan（π＋α）= tanα JevZP/P#?  
ii 1i c  
　　cot（π＋α）= cotα 'MCdKk  
[;.+`cES  
　　公式三： P]g@Yhc  
o?_2Gp  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ?=,ixE  
7k2Xy@^S  
　　sin（-α）= -sinα Br"jB9D"  
\twC_rNt  
　　cos（-α）= cosα 6<9?PS`#  
?><%o r  
　　tan（-α）= -tanα zxrUG .  
I5.Ps;y  
　　cot（-α）= -cotα =sCg$r8  
%SP;fC  
　　公式四： |zS-R*3  
qom^mX<  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： vNIp't/a  
2!ZSrH'-+  
　　sin（π-α）= sinα v | uq  
..\zxE2%  
　　cos（π-α）= -cosα T2T|LZ!A  
s3EUdJ  
　　tan（π-α）= -tanα hd#9.[:X  
o2=gzX#V6  
　　cot（π-α）= -cotα >G"Oo _>  
.@vc&HczT  
　　公式五： Y .BZ)Y  
m;`qE=Lx  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： LC:G .  
_zZw=t,:XT  
　　sin（2π-α）= -sinα X, KF=}  
M/1L>OY6U^  
　　cos（2π-α）= cosα lXn6 PC9l  
,Tdj 4Z  
　　tan（2π-α）= -tanα i$O[ "L{  
|BAgK  
　　cot（2π-α）= -cotα v[3OR)9F  
RvpU8-ky?W  
　　公式六： *|q |  
Km%b!b|m  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 9@x QYD  
49BZh 4?p  
　　sin（π/2+α）= cosα scYCT0 zJ  
]fftU>3  
　　cos（π/2+α）= -sinα '~)7T'[R4  
mN $M;  
　　tan（π/2+α）= -cotα {)"q}\N  
~\ ETK@&  
　　cot（π/2+α）= -tanα GOZ5xHp  
MI* XT59  
　　sin（π/2-α）= cosα %{' h5a"w  
l EJm>-M  
　　cos（π/2-α）= sinα sX9)4t>xP  
(YUq9%<C  
　　tan（π/2-α）= cotα ^DC ;hPRj  
Fx piqI?tz  
　　cot（π/2-α）= tanα _(*Bnpy*V  
Bc;uI;<  
　　sin（3π/2+α）= -cosα K7lx^kI  
}<+5 s9   
　　cos（3π/2+α）= sinα S/igBJ,  
&@0^ )A6  
　　tan（3π/2+α）= -cotα lY~hUu_  
H,H ^]5wc  
　　cot（3π/2+α）= -tanα rA@TRBZ  
&(|;v  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ]eW>{  
cW7x^NoMug  
　　cos（3π/2-α）= -sinα r3i/<,"Mu  
9ov%1nu  
　　tan（3π/2-α）= cotα =wx6E8  
[lQl{vy ^.  
　　cot（3π/2-α）= tanα (S MIF,Xp/  
0nK#xX$V:  
　　(以上k∈Z) Dw3 N  
H^EV 52g  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 !EDJ|N!P  
^2z  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = .*I5J.ELG  
S!-Sgf$Lf  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ="fBEZ+  
Db8asM o#  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(16598) |  收藏