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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 IC@#iv9n  
F5Kp#d lK  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. k&;s8?t  
\gJb{ d+t  
　　1、三角函数本质： \+"1[;82  
/ 1{"E  
　　三角函数的本质来源于定义 ;<DBJkuZ  
a[*\n%#  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 *+N-3Q-R  
<wZ({>g  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 2#bxF`$rJ  
 D'PxH  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： E0a yp4  
&U };u[  
　　推导： W{j$ocT>  
`-XPb&50  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 NTw{Tw O  
3H=1Ti  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 9$I`Q}uc  
CrPRb|t  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ECh OWj  
"||u}=r-  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 _MA a8  
6;V5ls>=  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） RYo:   
{Oir.I@  
　　[1] Mw#gCuO  
{g,  h#  
　　两角和公式 0t5XHhiO  
oD+' '9qe  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB T%-x;FP:  
i5-z%VB9>  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ?Ans[V  
){]%I+  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB :.BW;g_i  
'jc`ioNtOn  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Z,rPeeA\  
<F0O  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 5&pVUf  
vj/&0P^  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) j-DrK@t%  
V6/$!(B  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  _#8n!;R8L  
~BV<j6.)Bi  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) M~T_\K7S  
izn/P)'Ga  
倍角公式 }>zxM}boC  
(KNIet6#  
　　Sin2A=2SinA•CosA <p vuH+`  
r[\ z-  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 i'js8l=)  
;XflrF`  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） o3] V;  
{d~t=z^e  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 0c3M2)S(  
xI$<V+y9k#  
三倍角公式 s = iMkq\  
LBZ-W  
　　 &1z&XZ%Kd  
QFG% oi~7  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 31/pqm '   
6);sIW  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) */*gE$1  
dNI @.Y>G5  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ~sq.*j |#  
+$yoAV`6b  
三倍角公式推导 `=X)}gV6  
{#7i@)y.o  
　　sin3a H9uDLVs  
Hk_|k-n>  
　　=sin(2a+a) z,W}\6  
M)v3<pPH  
　　=sin2acosa+cos2asina AK #a` G  
|Vv_k6)  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina SY 1[a]]]  
!Di`)bU  
　　=3sina-4sin³a N%Lf%7 <  
!]xVkPVY\E  
　　cos3a ^g~@:^EA  
,K6!B~b  
　　=cos(2a+a) ekgS ZOs  
o yXwsx1  
　　=cos2acosa-sin2asina z P 2Fk ^  
YW %  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa $# MoP.8  
GNcQ(9as  
　　=4cos³a-3cosa A5rdvJc  
VjXo-"  
　　sin3a=3sina-4sin³a t|&S4!2.|#  
.S{zSnOt  
　　=4sina(3/4-sin²a) ''kr=&!=&  
,%3)1iI!h  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] <KPVL,)x  
)_Mm(x6<t  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 1+D\Mx[L9  
% #E<KpmF  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 0%$<l:;%|  
p[B9Tj%P  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 6zc6fV  
nsl7gD9,[  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) -YcCFpH8&  
}W8.74cW  
　　cos3a=4cos³a-3cosa HejrE KT  
[;.</Fq7  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 9>kaBp,  
w>'&SI?N  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 8BG s.C(f  
>,fnBxOK~  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) w*mR',]  
F L)jA/zk  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) zW2J|[s6  
M7/I<6#e  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} w12.J;"  
=8?gZcwGY  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) )a\@RrU'  
Np6 zV=  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] %Lk[hEdMu^  
\4 V@wDY  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 0`X-1t8  
"2#W{zns  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) qp 9  
$.-CBk b2F  
　　上述两式相比可得 mS{m,z()  
yBSw Ow{b  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) L>\{%Kl?7  
cmq"3r'o  
半角公式  pH _N9  
"a<I A/#  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ,cQ0*F@   
AR vX>j  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 'c_[wU:q  
w%m &qM}`  
和差化积 LG7[mez  
nywAMM,;  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] f* 88glB  
R:^aZ+c5N  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] =Ty1\QR  
a !%w l;  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] S+P#);   
HT}S2o;,  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] sWd\xev_  
_$`wW}v{}  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) /(NQ<z  
N!U/s_E  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 3C3|Qr|Q~H  
1[t.=9 *  
积化和差 R+%SU"+XA  
tk5z>g9(R  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 9uqHN]\  
( /q+v  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] >-6c^`"h  
R}[x E 6  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] q'>H7  
iC @guq  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] dcI>mT/  
6v>8Pm/  
诱导公式 aCb'h3  
4`g)  
　　sin(-α) = -sinα p S_S;"  
"' AP5  
　　cos(-α) = cosα l@l'sZ *  
[@p+3\*9  
　　sin(π/2-α) = cosα Rh!  
j)>.Dfaw  
　　cos(π/2-α) = sinα  14wrGR*  
r*-!ggHFe  
　　sin(π/2+α) = cosα ;*fg^M@w  
g|Tyx\&A   
　　cos(π/2+α) = -sinα (ap+M/ a  
,_-HaI   
　　sin(π-α) = sinα (6XagP"3  
)zzFDe l  
　　cos(π-α) = -cosα ^4=i  
,Vc8TvfMb  
　　sin(π+α) = -sinα {Q<r> !  
taY)F/j  
　　cos(π+α) = -cosα @H|3Aw !x  
^wvmT%w  
　　tanA= sinA/cosA  V ('40  
aLgUBc}+  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα i@:k bV}X  
yLFo\GK  
　　tan（π/2－α）＝cotα l C p}=Y,  
F;#a]a/  
　　tan（π－α）＝－tanα @vBl<6B(/  
l%\1'aACY:  
　　tan（π＋α）＝tanα \ Tn]1`]  
]xCC1&4Z^5  
万能公式 1?[@hzm^h  
mv}'t-0:>  
　　 30 o}~,  
=bU- O+s  
其它公式 lH.z,fO5=8  
7t-EdU  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 tCNMb5S  
d~-%?lS1  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 Bo4V]CrY  
"b-\|&  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 XERU"pf>S  
a,|zR R[m  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 NH-;p(  
L}sN@+i[Q  
　　对于任意非直角三角形,总有 ["P6{GJ!  
jKj if@  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 41 .k.8/]  
>Xb#1G8  
　　证: J_0"9ijM~  
+v02O$ 4@  
　　A+B=π-C 5YGohX  
iXZ^K0  
　　tan(A+B)=tan(π-C) aD@&5z  
ul8q@fP>W  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) P([(%`n7U>  
XfQD 5M  
　　整理可得 _J}t15g  
o{IE5T  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC *J#mar_T}B  
&}f%B  
　　得证 dL>hk?3-  
[+cA +0t  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ro-&8<YI  
X+xuy& wF  
其他非重点三角函数 Uv~aPiiTZ  
lXA/Sp'  
　　csc(a) = 1/sin(a) v3*"n Np  
6 <i;{9S  
　　sec(a) = 1/cos(a) Rmb6Si'g  
0 oe.$])  
　　 G'2>Y  
,~S Zp_'[[  
双曲函数 Y-uEHTrP,,  
\^u1RGK>X  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 T"'y<=nU  
@{k?5{Y2C  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ONF1&[  
+3t>}sID  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) }#I5o7w  
526~z%  
　　公式一： A*T#WG(a  
w_:M   
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： P4F;^F$,  
q C:4~#U  
　　sin（2kπ＋α）= sinα dplb-  
e rla1,  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ^v/zJE ?K!  
OS8aj#>  
　　tan（kπ＋α）= tanα 7&1|$Wi?  
8h3'D9}p  
　　cot（kπ＋α）= cotα h\P,Q .5  
n;{Zj@J&Z  
　　公式二： B=h\k[M!  
mO\J3 _  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： %oI:p#ut  
pwX[C  
　　sin（π＋α）= -sinα 7P?(  
_Z}h. 6  
　　cos（π＋α）= -cosα K#"G <KZA  
c:s&3  
　　tan（π＋α）= tanα 4 @V)?Do95  
4F6'G/aS[8  
　　cot（π＋α）= cotα `{K\]I@-wh  
W <*+{6>  
　　公式三： J3nW)3,o  
6MOV@(S{  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 0e|Fb\Y  
CINp~G  
　　sin（-α）= -sinα wNDY V  
|!e2,/i8'  
　　cos（-α）= cosα 8}E:!|f  
"m)Po XS  
　　tan（-α）= -tanα d8Ps 5G_0Q  
|l@ )~<e*1  
　　cot（-α）= -cotα mN|!GC  
/P#rIX  
　　公式四： 4yx7U D9  
\tI>.Av?  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ->vOE1Y&  
h6{Bu:6ac  
　　sin（π-α）= sinα 8ySWd\/  
%D*^cVHmpx  
　　cos（π-α）= -cosα ,|~Nxjj?/+  
E0-^Ry  
　　tan（π-α）= -tanα TFGUe?  
>bnE>W*e  
　　cot（π-α）= -cotα N>"ep&&  
K Jr|r   
　　公式五： &>KZ" )A ,  
mKX"CW"v  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： wlJM" g>  
e >%/.}v  
　　sin（2π-α）= -sinα AQ9{:0ID1&  
VsJ5__ _h  
　　cos（2π-α）= cosα re=B1w/@f  
|& IalAl  
　　tan（2π-α）= -tanα XRFHCgm \3  
77#k`5g)  
　　cot（2π-α）= -cotα |E~n+4  
z13bdD<OC  
　　公式六： Ad}_TZR  
y9-/'b @  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sPbH"T!1  
^+ML{ 0  
　　sin（π/2+α）= cosα S&/[V$9  
wKLHANHbur  
　　cos（π/2+α）= -sinα GF / UioI  
J_wU CKeSw  
　　tan（π/2+α）= -cotα }4d3b?k  
3J.k^ESj|  
　　cot（π/2+α）= -tanα I9hz4|  
MAS6}*D;  
　　sin（π/2-α）= cosα ['i(@(  
T (IRCn_  
　　cos（π/2-α）= sinα Y~B? _S!|  
:B;~*   
　　tan（π/2-α）= cotα `AM#&Lq.  
l\ak4FL  
　　cot（π/2-α）= tanα #5u_ha:`  
yT W YiN  
　　sin（3π/2+α）= -cosα !mlHD5  
hf:s3AY  
　　cos（3π/2+α）= sinα nGT7^%5   
tq?Q%dzZ  
　　tan（3π/2+α）= -cotα x)-jho5J  
bGvQ9I0z+  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 8Pg.R r1;  
c4,XBrn  
　　sin（3π/2-α）= -cosα *+!NlV6E  
dk <.m/  
　　cos（3π/2-α）= -sinα $hR^#MKzQ  
/3DAm6\f<  
　　tan（3π/2-α）= cotα fxmp w)  
!9o"^y{  
　　cot（3π/2-α）= tanα 45 nD_#3=  
Fq?xw {gS  
　　(以上k∈Z) 6gk KZ>  
}`*`*eO \  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 v-JUKkc  
N@PLv%>CU  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ink@F,\  
gMuJm   
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } @GGjvgl%  
@l3=hp9  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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