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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 #l.Bv`X{  
AhfbjwUP5A  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. i2k:JH Km  
^udwaIs_  
　　1、三角函数本质： Oyq}L-}Ip  
%u3|nky  
　　三角函数的本质来源于定义 </L 5vt~  
Bt$&qcJ  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 C%/iXK'!  
|+! W  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 9FM$|k5%  
Rz,j u>V  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： <{i5eZ]  
{V:g  
　　推导： 'z)+4 z ~  
8A,}oLd}N  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 vY~& 4  
;li}R  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 3n#YM9:  
-oTw5k+j  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) qcYD?l]  
wL,MKP|5g  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 >K </  
wh DYt@j  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） }`hzQy*(  
y tj^W  
　　[1] E*XW6ul|5  
P0q vsrm]  
　　两角和公式 Da[>k9y  
{l-z  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB A7#:@  
SYC`kcMZ  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  " |vF+fwb  
Y*iDuO'&'[  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB B(:"K12\  
A;lw7nmr  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB &)0iSYK  
PPA.d]I  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) v4.=SlY  
z )9kpO$  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 0 ork$1~  
sP'&nL'M b  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ?75*HO(<  
l&UD @"$  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) vN8KQ}T  
!'#}T"V  
倍角公式 &nl mn|qj  
8s3G==*+  
　　Sin2A=2SinA•CosA )"_\>h+[  
-rZ<osNL8`  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 /MRh;+Z.}  
V-1cFTfUv  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） s!avX1b8  
;<3zhFI^  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） hF%_@X~&  
"de}=&z.  
三倍角公式 g}L%, XC  
R*%C ?  
　　 aIEUJb  
Ni NL$4L  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) E%j };bX*  
(  GQ T%>  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)  PHby6  
MeH-E,`  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) K-<3 !q3  
@93{iTf+  
三倍角公式推导 tY}u}A\3G  
G>iu"Q~  
　　sin3a CAUhvio  
#K3k5 {  
　　=sin(2a+a) 3B[|\ ?  
[dXf}.>Bk  
　　=sin2acosa+cos2asina (,P"ls0<g  
ls~$i"  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina F8r^kql  
!+ [{^6l  
　　=3sina-4sin³a s}C!v:l4R4  
hfg9lF1  
　　cos3a PK`<G3J| Q  
eR OYn$  
　　=cos(2a+a) [~<1Zs  
,#y:0J D  
　　=cos2acosa-sin2asina Fg8~y`  
7dIzo[TR  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa cyEo  
E@Wh xc~  
　　=4cos³a-3cosa ]({RF2p3  
GX =NU}I  
　　sin3a=3sina-4sin³a UDJhCqiJf  
B`].ME  
　　=4sina(3/4-sin²a) W 7m46 6  
:f$8(&UD  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] uF}ZcK!X  
 g{cq%1T  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) v+ze%8}A7N  
)%|uoX}{  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ct/s75y  
;gCc{=[]N  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] c0+w^%d  
YHJ4Erd&@  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ww$<_%m'  
& VE9tjU6  
　　cos3a=4cos³a-3cosa *G<mpDL  
}olP_6<;  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ]d^_r4_  
:c.kf^+ M  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 2'?9=P8C  
)dh %@}d  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 9R ]*l  
od<[z N  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 5 |`#Cjk  
j&*w;gT31  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 7)`&g o  
^ Yb+fg~G  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) &"'n-,  
FD|2i  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] $v j+'m#  
P4I|MA-  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] N)Ia2fG2  
~Rsx kVO  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) y:+ DiJ)  
Zv{}(!xYlN  
　　上述两式相比可得 H-M`[p  
>l^*cV.IX  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ??l\add#h  
Q-,T3PF[  
半角公式 NXE>@%T(*  
?Q_=>{\4  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); jE~;= [  
U:p\KS\I  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. UQ$ r 8  
k-y3PDHn  
和差化积 J y/wcTx7  
,bS{ 9<tZ  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] a~lrd+$C  
qFK4e&+  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] wkV{Hz;  
QP1+lO  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ={Y7pf9  
)JVQhah  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 9]l2 HW(.  
K:vP%)v  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 2AfvVf  
\|2XH;n  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) @[e5/@2n  
]CT~*  
积化和差 VT:Y.  
sN`q|B{dc  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ~o[TC7a  
,b5V?p.zl  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Tp7%=IE  
-oNc@ $~  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] )vT0:l F  
"*-% ^Ye\  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] MHcN9W  
2~t(SY(  
诱导公式 3F{h\[  
%RL!T<  
　　sin(-α) = -sinα 3 &>E  
o4m:]#eZ  
　　cos(-α) = cosα dfJ,hh  
`YJkj+  
　　sin(π/2-α) = cosα  n&]]r  
; pOhRH  
　　cos(π/2-α) = sinα 9Y qz;km:  
piZ*9?  
　　sin(π/2+α) = cosα u 2Ms.8b  
a%LTG<Ip1  
　　cos(π/2+α) = -sinα x`E$ct  
]s:dr(  
　　sin(π-α) = sinα oth,Z2xKP  
aAS9XG+  
　　cos(π-α) = -cosα de#>8y=A  
VSae.[~&T  
　　sin(π+α) = -sinα >$lp<&h  
 s( $_  
　　cos(π+α) = -cosα "H=Liw6  
1RI0/ A  
　　tanA= sinA/cosA ivnqwzyB  
y5nqOy.v  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα {eQ1!]P  
b^>4dY-@  
　　tan（π/2－α）＝cotα $j@#\q_  
SaRw f  
　　tan（π－α）＝－tanα 5u~38^<  
Oj{^\{g  
　　tan（π＋α）＝tanα Sd5hWn[ <  
,mwEd%~(Q`  
万能公式 +$Hwq7=g  
zEW3XQaL.  
　　 <so$:Izz  
aSogkDk;;  
其它公式 `{N`#Y(9^  
@S[*7  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 kx kZbwr  
,nQx_`r  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 &I W#k>W  
I") EM'  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 n$}pg?*iZ  
m#u(09~H  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Jt#9 H '  
pFhfufo6"  
　　对于任意非直角三角形,总有 k(a &pnVo  
?wpq`6r>  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC :yDF )`wM  
/)Ff4Sm^  
　　证: @'+>Pv^Jn  
2 j\!)dc  
　　A+B=π-C cW'-mJS  
p2b$LCOe  
　　tan(A+B)=tan(π-C) +[26 2f`  
m K-K<>`L  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) cd8CC,=  
{U":.TFA:o  
　　整理可得 `E R ~ %  
#[N5cv$3&  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC y Cz=VR  
Hs<5}|  
　　得证 Sug;ud  
)V_K`!q  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 UE=]S   
2!{GW+LK  
其他非重点三角函数 Mf])u[\NC  
 nE>(o  
　　csc(a) = 1/sin(a) aL05-$}Ut  
<F7W|mI6  
　　sec(a) = 1/cos(a) [sQh6  
#0kV&  
　　 #H< MOh.  
D\&Drarg  
双曲函数 |1I3~v@  
b/>E`Eu  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 IfM=%[<*\  
T~!WY2{D  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 :8>T #92e  
tva]XQ/<K3  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) |y<t;qb7  
;Cy,O  
　　公式一： eCm    
P_%udpez1!  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Ws( Lws#c  
DS+Q}] NU  
　　sin（2kπ＋α）= sinα U;<ZP@  
vUSS_uL\}  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Qk_G |fV  
fdD-Lg\.)  
　　tan（kπ＋α）= tanα -RK@S&{R  
PIIvE&  
　　cot（kπ＋α）= cotα *\cP-uz  
:N9YX o  
　　公式二： "uu=$Y8  
zD osH w  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： %;@U[u)>s  
TZ&d>g  
　　sin（π＋α）= -sinα f^v]X  
nXX?f+  
　　cos（π＋α）= -cosα )O>Bf  
Hn!tFTuE  
　　tan（π＋α）= tanα 2_CX-`M#  
@fq%+/qO}  
　　cot（π＋α）= cotα S3KsC-NX0  
3c!TmXSFLk  
　　公式三： */3[|B- R  
W9f5F7~  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： L*f9%k  
Qq7|{a8  
　　sin（-α）= -sinα Hc@:b  
VN{=.n7  
　　cos（-α）= cosα xP&7<DW}  
aco]VK  
　　tan（-α）= -tanα nQ6=)2@fv  
cA F &-D9  
　　cot（-α）= -cotα {Jq\8LEBo  
Frxr g9ZC  
　　公式四： lyo!|!-/  
o9um1o3=  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： g|jqQcG  
36#MO(B  
　　sin（π-α）= sinα 6`g y,  
PFr oOT  
　　cos（π-α）= -cosα 4i]-0J= G  
05>.-`Yo  
　　tan（π-α）= -tanα "j~/_dIiW  
P 6+%+5)  
　　cot（π-α）= -cotα \P l{1>m:  
cy6'/?.qV~  
　　公式五： J" 'G-,`+w  
~g#[QatkR  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： S0LwirVj  
yLhh-JC Kq  
　　sin（2π-α）= -sinα ~uwdn_ 5Z8  
9qzG.i}W  
　　cos（2π-α）= cosα -;G>8+h.  
}hQK{K/8y  
　　tan（2π-α）= -tanα z?'T"/@  
0CyqZ=X  
　　cot（2π-α）= -cotα j''!LfA  
} Tk~  
　　公式六： 0K=_B  
2nVlD3gR  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： x2zyY,@>  
\*+"b ^NC  
　　sin（π/2+α）= cosα UOGK[w6A  
Gs_:CEO  
　　cos（π/2+α）= -sinα t*>Jvw4|2  
h=]mh*?9  
　　tan（π/2+α）= -cotα lasIeN &$  
,m{Fg{  
　　cot（π/2+α）= -tanα @9LH`x1A  
d& kZ k.Jt  
　　sin（π/2-α）= cosα SYg+W,J,g  
^XV3d b  
　　cos（π/2-α）= sinα Ro>)t`Zt  
ou21X23  
　　tan（π/2-α）= cotα z?7+@C1Y  
VcQr[6B_g  
　　cot（π/2-α）= tanα 7IXlT g KY  
\2fkP[  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ,^uP1#{J\  
}6J3 nDw  
　　cos（3π/2+α）= sinα JX.' j`   
p_q! NC8  
　　tan（3π/2+α）= -cotα amESA(  
J1f?| S  
　　cot（3π/2+α）= -tanα jhk  
Twb\GCTY9)  
　　sin（3π/2-α）= -cosα vW/N}sQ  
L5uM.AK'  
　　cos（3π/2-α）= -sinα d, !/k)^  
^aIU^Q@  
　　tan（3π/2-α）= cotα 88+p-4iG  
cL6 EA  
　　cot（3π/2-α）= tanα A_Y~ylxL  
0x$FufK3  
　　(以上k∈Z) ~,4 nCw0{  
<PiM8\  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 o?;evqG[  
.i'dlDHA  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = _;Wyn6Yizi  
n kU>>TE  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } b[] b  
+;YgA;8  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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