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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 @~C LhOlh  
`ofEYM  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. i{p*AqR6?J  
8+&`Di  
　　1、三角函数本质： 4&3ccR  
rUM)A  
　　三角函数的本质来源于定义 F`]Y{OcO  
)7.)#0GP  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 w4}HDBb)J  
B\.XAO!*  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 SFf~4b3Bd  
n:S1!nNU  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ~Gj~b"c  
j< BR6A(  
　　推导： `{5F)I$  
*3T!mJF8  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 STga K|f  
r <hnh8  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) R hb(^t  
%4; ha!%  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) d`WN-]W|>  
QwLft_F  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 02md`}g  
0:{3C|A  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） iWftS \O  
Q0>&9FQ]  
　　[1] ]L8nf p  
M57P7@Y  
　　两角和公式 Uqvj6{G{4r  
{#;g0<eW  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB SF1I{-om@  
e7H!Q.;  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  PyWg 6-(  
U 0 Vy H;  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB BtI?*>T{  
SvrP3  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB imz}   
%@n09L  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) lU"B~k  
@|jx 8<Cu  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) v{?%OQs  
p?f TsA |  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  j9\I?uu]A  
U{WeoDhT  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 08{h%v3Z  
o"\- '  
倍角公式 MNu>'CK_1  
t0r"eH_)  
　　Sin2A=2SinA•CosA "Bc%&A  
) Ak=n  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 SLzDsU^q  
S&Tv]J^s  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） [IS,'G AR  
5lP3}f  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） /6ox0%)  
Bzbi9@1.  
三倍角公式 zl 7lE  
=MQC3`=\9  
　　 1Ww8P`7~  
CwNrja  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) bNIl~by  
4KsNNYCaE  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) >gJ1K(  
roq[L*>  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) N8y"sW  
/: Sxf~(  
三倍角公式推导 A:[4Kh%n  
U 9u1Ok  
　　sin3a n|_h F  
)LnHp;m=  
　　=sin(2a+a) fw:zeGQ9%  
BcK p9s  
　　=sin2acosa+cos2asina '*lcvK{  
:YCSO]s>L  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina bW [_jV)9z  
g -BOqL&1  
　　=3sina-4sin³a =qYyghij  
Y~9=%v,=  
　　cos3a Xt0"1*  
n;5lE:>  
　　=cos(2a+a) }$EI}IL  
|jF"0U U=  
　　=cos2acosa-sin2asina &=Ug%!  
,Y./1]?  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Wr"xE]6=Y0  
<@C9dn+  
　　=4cos³a-3cosa DwF{F;&E  
P6l{t2  
　　sin3a=3sina-4sin³a bz(BAot#  
D${*N@M  
　　=4sina(3/4-sin²a) j7yIVR>  
zN4? 4?  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] d$wRB  
iSF?eb  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) G,'+r_K  
vZoRsLD  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) d=.K:?l\  
98a-k@u:   
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] K! R 6PpU  
[Ld`~l_fB  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) jv]#k[Rc  
S} .Lnx  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 9\ !32X  
'#~+[M``  
　　=4cosa(cos²a-3/4) `vK8;7r:  
bl):8%  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] >i^EBn%c  
{(mDl t  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Tp iK"!3  
Crr!{?ep  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 27K0Jbue  
hS E07~<  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} I7Q">m.C  
16^1 >  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Zk/XZ*4=  
Vs!9wMR  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] G@WisO.KR  
~d;x.   
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] t; !Z$n  
M]j7 Th  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) g>BX+`Ug  
&QnT!  
　　上述两式相比可得 ?102D^D  
;5]N NBAzx  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) M'2WMg6jTR  
',v42+|  
半角公式 [gXbG3!  
q1"^  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); qrPW"7)!V  
g#M>cbJ  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ]}XM6m0 D  
r A1o4  
和差化积 eI w(R  
|>B L+|s  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 6AH<@_=  
7$c"}~%  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] n.84s &4e  
.g\`MBh  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] rb+$(#y7.>  
rCL&4l  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Ch#6l0uM/  
cmeelYt  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) [aH1_4e|X  
f:]~d-G:)E  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) b'}':jqO  
oe,V,! L:3  
积化和差 hgq;sy|  
P<G{kC)Av  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] @VH E#%kG  
+ ;AG(  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] M "C=t2  
[rz)0 <B  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 9CQE"}$^   
&[e!=F_  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 5/"^d"  
e[zCbJ e  
诱导公式 {1 Dbc:x  
7:jYAFu2  
　　sin(-α) = -sinα +IC7* Zp  
pbL q%AU^  
　　cos(-α) = cosα S =)&5 s3`  
l>V-&]Y<   
　　sin(π/2-α) = cosα lAP9  
[?1SL))(  
　　cos(π/2-α) = sinα ?QrU A9H0  
}ctN ?  
　　sin(π/2+α) = cosα /2.Q.O<  
5Zhe^   
　　cos(π/2+α) = -sinα ~'?AX.gw  
G3dr  
　　sin(π-α) = sinα yV 9Kt4 H  
)XH!O6ZS  
　　cos(π-α) = -cosα |rzy([  
(Jy_G"i  
　　sin(π+α) = -sinα ~61wB}  
. r$!ctm:  
　　cos(π+α) = -cosα Sovi.rNNbC  
ZN[b 2{K.  
　　tanA= sinA/cosA =Un$ni%"A  
V6jCf'V}Z  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 6SduESRN  
"}h18>I]y  
　　tan（π/2－α）＝cotα ^qNagI:  
Pdw[W^+j*  
　　tan（π－α）＝－tanα lO%%p   
iW `kv4Q.  
　　tan（π＋α）＝tanα AtL~e"b9  
T#PstSn\  
万能公式 X" l"[k>  
h8 UI`3  
　　 /AvY{;dXmV  
'KZzp0  
其它公式 ~s;{Q|'  
~s= Lf  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Aa$+m7[~z  
csdH"{Xox  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 $r?e/  
J^zB R  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 $N8tveu  
VDq3V._&  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 HR['b  
[ZmA84  
　　对于任意非直角三角形,总有 <C;NzM`.A  
PPG,KRl-  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC y,HE P3  
^|5+|=\\N  
　　证:  kdY&;y2  
")`u=UH,I  
　　A+B=π-C AH}iE@"q  
'ML{^7$x  
　　tan(A+B)=tan(π-C) $p4Oimsrz  
N-I{[?c|]  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) *lHTk\4  
#</$U 9j?  
　　整理可得 aw68&\  
:h[%*%MV"S  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 7?"R6I45V  
W3" i,  
　　得证 = !>m?e\P  
#$UqTX8  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 \ZA#)V=  
Va>J}  
其他非重点三角函数 b(5x9  
RgBd2B  
　　csc(a) = 1/sin(a) ZiDj,bj)  
.;\k7 BW  
　　sec(a) = 1/cos(a) TNREyoo[ (  
KCa)VTYn  
　　 ?t- >W,  
,vJlIHdP  
双曲函数 Qo*`"-LY  
>4zzQF~gge  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 T=Z z 3I6  
\R h3)!h  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 1;2pyx.9_  
:#0 Em  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Z Pz Vuu\  
2v+x9 O^  
　　公式一： Hc}x#',  
rO-r ;_`y  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： K;h_q/ybP  
Np}D#  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Oa kK!Z  
ABRLz5]N'  
　　cos（2kπ＋α）= cosα TTF2rJQ  
X%fv Jx  
　　tan（kπ＋α）= tanα \)>r,B  
>.+UZgq<  
　　cot（kπ＋α）= cotα ,|Q%xu t  
 m$717  
　　公式二： +v+I_\  
NfZ$sYCr  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： RJ+5T  
|+7-b $  
　　sin（π＋α）= -sinα D`fMDK9  
(qFjI  
　　cos（π＋α）= -cosα '#Zqp  
}ZUDkM  
　　tan（π＋α）= tanα k|~*S  
EPf.O3a 7a  
　　cot（π＋α）= cotα P9  }`  
 IM5Tz'K  
　　公式三： O!;sY2^6  
|s (KZD6  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： T >O4@>!3  
<Mi`D(m1  
　　sin（-α）= -sinα ="kcOm:?  
nT}EnEJn  
　　cos（-α）= cosα .q@d-rmbj  
c>iWf  
　　tan（-α）= -tanα Wj&+cD=U  
*:Y4t,mw+  
　　cot（-α）= -cotα g6s>yMsw  
CbH~Cgg  
　　公式四： VaS}D<:w  
mS4 ' L4  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： q\U62,I8  
[n$CQs[jW  
　　sin（π-α）= sinα =$X P#  
"B('A!v  
　　cos（π-α）= -cosα JY)by-TX  
BnC*T"mL  
　　tan（π-α）= -tanα ~=)aVVJY  
wv_w0k*  
　　cot（π-α）= -cotα gQ>2/K  
0HbXiohLu  
　　公式五： v \(|"  
BbD=6U]  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： xLKZ$yL~;  
25M> Znd%  
　　sin（2π-α）= -sinα GE B-  
IjUbd-2p  
　　cos（2π-α）= cosα 8<L>VL=  
zj &[42sd  
　　tan（2π-α）= -tanα r-^ FBA  
J7}|Y-  
　　cot（2π-α）= -cotα |;rj5Q_X  
1e7V`X $  
　　公式六： 9I 8@Ji  
sWy9rRwyj  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ?ue}4gv N  
o!k"-cDD1G  
　　sin（π/2+α）= cosα q$f4{X G$  
5@ wWa  
　　cos（π/2+α）= -sinα a ]%z2F*q  
q;o1[,l  
　　tan（π/2+α）= -cotα k8m}$|mQ  
2_ ]E'Oj  
　　cot（π/2+α）= -tanα YG<I  
O8C27O  
　　sin（π/2-α）= cosα 8(Dex  
aNd Z COZ  
　　cos（π/2-α）= sinα (:dN*+c  
0KFX- tBc  
　　tan（π/2-α）= cotα .`p<#[X  
D|EwAB 2  
　　cot（π/2-α）= tanα U~92>v  
3 W^~3y  
　　sin（3π/2+α）= -cosα wESD$\J?M  
V'MI%=\t"  
　　cos（3π/2+α）= sinα ^)p~W  
OH;six@eK%  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ayY*&n  
$fV#WDs  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 'J<@A:^w0$  
@.CO|_=  
　　sin（3π/2-α）= -cosα &0^9]'Cwo  
y5Wz}{  
　　cos（3π/2-α）= -sinα g& CZ c  
j8JF|w@nU  
　　tan（3π/2-α）= cotα }AE|Sg'  
^oMMn  
　　cot（3π/2-α）= tanα "9kJENlj{  
fb0_9kg0l  
　　(以上k∈Z) f#lWm  
GPk#:zU  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 D6>vK&wV  
*3tD -u)w  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = H3U G_ED=  
nYQD[K  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } N,/i?)+u^  
.oIJUlBpD  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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